funcion logaritmica

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

 

 Teorema ( Propiedades de los logarítmos )Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : 
. 




. 
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. 
Para todo número real , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva . 
. 
 
 

Si , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)
 
Demostración.
Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. 
A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector. 
 
Sea .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene : 
.  
Esto es , ( 1 ) 
En segundo lugar , nuevamente por la definición , .  0
Es decir , ( 2 ). 
De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que . 
Sea y  , entonces : 
( 1 ). 
( 2 ). 
De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : . 
Es decir , . 
7.Se supone que a > 1 y 0< x< y. Sean : y  .Se prueba que 
. 
En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es decir , en contradicción con la hipótesis. 
Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1.  
Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones e , en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. 
En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas  e  .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x. 

fig 3 fig 4

fig. 5

 

funcion exponencial

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

 
 

Teorema (Leyes de los Exponentes) 

Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces: 

1.  

2.  

3.  

4.  

5. . 

6 . 

 

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial 
de base a es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, . 

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en 

su dominio. 

. 

10.Si 0< a < b ,se tiene: 

 

. 

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número realtal que 

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. 

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 
 

Gráfica de la Función Exponencial 

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. 

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

fig.1

fig.2

Note que cuando la base aes mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir , crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,  tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base a< 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y  tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencial con a> 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a< 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.