Función cúbica

En el siguiente cuadro se puede observar: Las cúbicas: f(x)=ax3+bx2+cx+d son como sillas, unas con el asiento hundido y otras sin hundir, podemos observar que el signo de a decide si el respaldo de la silla está a la derecha o a la izquierda y todas son simétricas respecto del punto en el que la x vale -b/3a, punto de inflexión.  En este caso, no basta con el coeficiente a del máximo grado para saber la forma de la función, tal y como ocurre con las gráficas de las funciones polinómicas de menor grado (Ir al cuadro)

. . f(x)=ax3+bx2+cx+d . . a+   a- . . .  .    .

representación gráfica de funciones polinomiales de grado 3 y 4

 La determinación de las raíces de un polinomio es una práctica antigua y la notación utilizada actualmente se desarrolló en el siglo XV.

    En la actualidad, debido a su estructura, los polinomios son muy sencillos de evaluar y se usan ampliamente como herramienta poderosa en otras ramas de las matemáticas. Por lo general se usan para relacionar volumen en el espacio o en el tiempo.

    Las funciones polinomiales de grado tres tienen la forma

f(x) = ax³ + bx² + cx + d, donde a no es cero.

Esta función corresponde a la función clásica y = x³ con su grafica de una “S” alargada.

Sin embargo al presentar una función cúbica con todos sus términos, esta se presenta de forma muy especial. Veamos la grafica de la función

f(x) = x³ + 8x² + 10x +1

aplicaciones de una función polinomial

Para identificar las aplicaciones una función polinomial de grado tres, presentamos una situación común de construcción.

Se tiene una hoja cuadrada de cartón de72 cm de lado y quieres construir una caja para sus cosas recortando un cuadrado de cada esquina. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea el máximo?

En esta situación se dispone de la lámina completa en la que se puede recortar un cuadrado de lado “x”. al cortar cada esquina y doblar las partes restantes para obtener la caja de base cuadrada cuyas dimensiones son, en la base, 72 – 2x centímetros de lado y una altura de x centímetros.

El volumen de cualquier caja se obtiene como el producto de cada una de sus aristas, para este caso:

V= (72-2x)² x y desarrollando y simplificando se obtiene:

V = 4x³ – 288x² + 5 184x

Esta expresión algebraica determina el volumen máximo, pero necesitamos saber cuánto hay que recortar para que así sea. Pero si encontramos las raíces de esta función obtenernos el valor para que sea cero la función y no el valor de x para un mayor volumen. Al realizar un tabla de valores para x y y, encontraremos que hay un máximo volumen en 12 centímetros.

características de funciones de grado 1 y 2

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

f(x) = 2x − 1  

es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

f(x) = 2x − 1

En general, una función lineal es de la forma 

f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente).

Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 27_2010

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde “a” es la pendiente de la recta, y “b” es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de “a” siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma

La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.

La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)

Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de “p” y avanzo o retrocedo según indique el valor de “q”. En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.

3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

De ahí subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Ejemplo

Graficar  la función dada por  f(x) = 2x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a  x  y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

                          Si  x = 0, se tiene que  f(0) = 2(0) – 1 = − 1

                          Si  x = 2, se tiene que f(2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos  son (0, −1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica  correspondiente.

Veamos ahora el proceso inverso; o sea, si tenemos la gráfica de una función queremos encontrar su expresión analítica o matemática.

Para eso, necesitamos encontrar una expresión de la forma  f(x) = ax + b a partir de la gráfica.

Por ejemplo, a partir de la siguiente gráfica, vamos a calcular su expresión matemática.

                                                                                                       
La imagen de 0 es b porque f(0) = a(0) + b = b  luego b = –3

Tomamos otro punto, por ejemplo, el (2, 1);  el 1 es la imagen del 2 luego se cumple que:

1 = a(2) + b   →    1 = 2a – 3   →  4 = 2a  →     a = 2

Nuestra recta será:           f(x) = 2x – 3

Ver. PSU: Matemática;

Pregunta 14_2006

Pregunta 18_2006

Función polinómica

Una función f es una función polinómica si,f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

donde a₀, a₁,...,a_n son números reales y los exponentes son enteros positivos.

Ejemplos:

f(x) = x² − 2x − 3;

g(x) = 5x + 1;

h(x) = x3 

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Ver: Función cuadrática y su representación gráfica

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

f(x) = x2  representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 18_2006

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

para los polinomios f(x) y g(x).

Ejemplos:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función  de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma  f(x) = x^r, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x^4/3 y  h(x) = 5x^3/2 son funciones de potencia

Ver, además Función raíz cuadrada

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.

     La función es: f (x) = 4x.

b) Un número 2 unidades mayor.

     La función es: f (x) = x + 2.

c) Su mitad menos 1.

     La función es: f (x) = x/2 − 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.

     La función es: f (x) = (x − 1)²

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:

1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas  y c es una constante de proporcionalidad.

Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.

2) El área  A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

3) Dada la función  f(x) = 5x² + 2

Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función  f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para  x = 2

                                            f(2) = 5(2)²  + 2

                                            f(2) = 22

por lo tanto cuando x = 2, se tiene que  f(2) = 22.

Un problema resuelto

El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.

a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.

b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos:

a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.

b) x = 50  entonces

 f (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25

Hay que pagar 25 dólares.

c) f (x) = 53  entonces

15 + 0,2x = 53 entonces x = 190

Se han recorrido 190 km.

Función polinomial

¿Qué es una función polinomial?

Esto depende de los grados de la función.  La función polinomial tiene relación con la expresión polinomial o con el polinomio. Si una expresión tiene muchos términos la función polinomial puede tenerlos o no, pero responde a la forma:

P(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…. + a₀x⁰

Con la nota específica de que N es un nuero real y el coeficiente A no debe ser cero.

La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable equis el exponente uno.

La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece  de forma oblicua.

y = m x + b

La función cuadrática:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2

Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:

Y = ax²+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.

Su gráfica es una parábola.

La función cúbica:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y= ax³ + bx² + cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4

Es la función de fórmula: y = ax⁴+ bx³+ cx²+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

Una representación especial de las funciones polinomiales es la función que no tiene un exponente como los anteriores.

Función constante

Función identidad

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.