funcion logaritmica

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

 

 Teorema ( Propiedades de los logarítmos )Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : 
. 




. 
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio. 
Para todo número real , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva . 
. 
 
 

Si , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)
 
Demostración.
Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. 
A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector. 
 
Sea .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene : 
.  
Esto es , ( 1 ) 
En segundo lugar , nuevamente por la definición , .  0
Es decir , ( 2 ). 
De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que . 
Sea y  , entonces : 
( 1 ). 
( 2 ). 
De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : . 
Es decir , . 
7.Se supone que a > 1 y 0< x< y. Sean : y  .Se prueba que 
. 
En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es decir , en contradicción con la hipótesis. 
Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1.  
Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones e , en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. 
En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas  e  .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x. 

fig 3 fig 4

fig. 5