Matematicas IV: ceros y raices de una función

CORTES CON EJE ABSCISA (x). CEROS DE UNA FUNCIÓN

En el eje de abscisa o eje de coordenadas X, se representan los originales que tienen imagen, es decir, que pertenecen al dominio de F(x). Cuando para un x determinado (x = a) se cumple que F(a) = 0, o lo que es lo mismo, los originales que tienen por imagen al número cero, se dicen que son puntos de corte con el eje abscisa o x. Recuerde que este eje es una recta de ecuación y = 0 (F(x) = 0).

Se dice que x es punto de corte con el eje X si:

F(x) = 0.

Polinomios.

Se debe, si se puede, factorizar para encontrar los valores que hacen y = P(x) = 0. Raices.

P(x) = x³ - 6·x² + 9·x = x · (x - 3)² = 0 que se anula para x=0 y x=3 >> P(0)=0 y P(3)=0. Luego hay dos puntos en esta función que están sobre el eje x: (0 , 0) y el (3 , 0).

Racionales.

Es muy común el error, cuando tenemos una expresión del tipo:

	n(x)		n(x) numerador
C(x) =	————	= 0
	d(x)		d(x) denominador

pasar d(x) multiplicando a la derecha de la igualdad, multiplicando al cero y resolver la ecuación n(x) = 0. Si un x = a cumple que n(a) = 0 pero también que d(a) = 0 entonces, x = a, no es cero de la función C(x). No se verifica que C(a) = 0.
Para que lo sea tiene que cumplirse que n(a) = 0 pero d(a) ≠ 0. Recordar que (0/k)=0 si k ≠ 0.
En un caso práctico, se resuelve n(x) = 0 y las soluciones se sustituye en d(x), excluyendo como ceros aquellos que anulen la función denominador : d(a) = 0.
Vimos que no se puede dividir por cero. Si ese valor anulase el denominador, ese valor no pertenecería al dominio de la función, no pudiendo tener al número cero como imagen.

Para que x = a sea punto de corte con el eje x se debe cumplir:

C(a) = n(a)/d(a) = 0 » n(a) = 0 y d(a) ≠ 0
Valores que anulen el numerador y no el denominador

Por ejemplo:

	(x - 1)·(x - 3)		n(x) numerador
C(x) =	——————	= 0
	(x² - 1)		d(x) denominador

x = 1 y x = 3 anulan al numerador, pero sólo x = 3 anula al numerador y no al denominador. Esta función corta al eje x en (3 , 0). El valor x = 1 queda excluido por anular, simultáneamente, al numerador y denominador. Observe como en x = 1 tiene un punto de discontinuidad evitable. No existe C(1). No pertenece al dominio.

Exponencial.

Si intentamos resolver F(x) = e^-x comprobaremos que e^-x ≠ 0 porque e^-x > 0 para todo x.