- Función escalónEn ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bienactivo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.
Definición [Función de Heaviside] La función escalón unitario o función de Heaviside1.2 se define como
Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para .
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .Solución
La función está dada pory su gráfica se muestra en la figura 1.5Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .Solución
La función está dada porLa función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.Ejemplo
Use la función de Heaviside para reescribir la función
Solución
Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside
Observación: la función
se escribe usando la función de Heaviside comoDemostraciónTeorema [Transformada de la función Heaviside] La transformada de la función de Heaviside es
Usando la definición de transformadaEn el primer teorema de traslación nos permitío calcular la transformada de una función al ser multiplicada por una función exponencial , el segundo teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función que es multiplicada por una función escalón.Teorema [Segundo teorema de traslación] Si y , entonces
Forma inversa del segundo teorema de traslación:
Demostración
Usando la definiciónObservación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace de la función haciendo :Ejemplo
CalculeSolución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar aEjemploCalcular , dondeSolución:Observe que la función puede reescribirse comocon lo cualEjemplo
CalculeSolución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar de forma adecuada el términoComo lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.Corolario [Forma alternativa al segundo teorema de traslación] Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces
DemostraciónUsando la definiciónEjemplo
CalculeSolución
Usando la forma alternativa del segundo teorema de traslaciónLos siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa.Ejemplo
CalculeSoluciónEn este caso ycon lo cualEjemplo
CalculeSolución
Primero hallemos la descomposición en fraciones parcialescon lo cualEjemplo
CalculeSolución
Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y debemos completar el cuadrado.En este punto debemos usar el primer teorema de traslación para calcular cada una de las transformadas inversas de la siguiente forma:yY de aquíEjemplo
CalculeSolución
Este ejemplo combina los dos teoremas de traslaciónTeorema [Multiplicación por .] Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en, entonces
Ejemplo
CalculeSolución
Aplicando el teorema anterior para , tenemos queEl siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior.Ejemplo
CalculeSolución
Primero aplicamos el teorema de multiplicación por y luego el de traslaciónEjemplo
Calcule el valor de la siguiente integralSolución
Por el teorema de multiplicación por , tenemos queDe donde obtenemos quey tomandoExiste un caso especial del teorema anterior, cuando , que es muy útil en el cálculo de transformadas inversas.Corolario [Multiplicación por .] Si , entonces
Ejemplo
CalculeSolución
Sipor el corolario tenemos queTeorema [División por .] Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en tal que el límite
existe, entonces
DemostraciónSeaentonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos queIntegrandoes decir,Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que.El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema.Ejemplo
CalculeSoluciónTenemos quecon lo cualEjemplo
Calcule el valor de la siguiente integralSolución
SientoncesDe dondey tomando el límite cuando , tenemos que
viernes, 19 de abril de 2013
Función Escalón
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